对任意实数x和任意θ∈[0，π2]，恒有(x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥18，则实数a的取值范围为a≤6或a≥72a≤6或a≥72．

Question

对任意实数x和任意θ∈[0，(π)/(2)]，恒有(x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥(1)/(8)，则实数a的取值范围为

a≤√(6)或a≥(7)/(2)

a≤√(6)或a≥(7)/(2)

．

Answer 1

原不等式等价于（3+2sinθcosθ-asinθ-acosθ）²≥(1)/(4)，θ∈[0，(π)/(2)]①，
由①得a≥(3+2sinθcosθ+(1)/(2))/(sinθ+cosθ)②，或a≤(3+2sinθcosθ−(1)/(2))/(sinθ+cosθ)③，
在②中，1≤sinθ+cosθ≤√(2)，
(3+2sinθcosθ+(1)/(2))/(sinθ+cosθ)=（sinθ+cosθ）+(5)/(2(sinθ+cosθ))，
显然当1≤x≤√(2)时，f（x）=x+(5)/(2x)为减函数，从而上式最大值为f（1）=1+(5)/(2)=(7)/(2)，
由此可得a≥(7)/(2)；
在③中，(3+2sinθcosθ−(1)/(2))/(sinθ+cosθ)=（sinθ+cosθ）+(3)/(2(sinθ+cosθ))≥2√((3)/(2))=

作业帮用户 2017-10-03

问题解析

原不等式等价于（3+2sinθcosθ-asinθ-acosθ）²≥(1)/(4)，θ∈[0，(π)/(2)]，从而可得a≥(3+2sinθcosθ+(1)/(2))/(sinθ+cosθ)，或a≤(3+2sinθcosθ−(1)/(2))/(sinθ+cosθ)，于是问题转化为求函数的最值问题加以解决，对上述分式进行合理变形，利用函数单调性、基本不等式即可求得最值．

名师点评

本题考点：

函数恒成立问题．

考点点评：

本题考查函数恒成立问题，转化为函数最值问题是解决该类题目的常用方法，解决本题的关键是先对不等式进行等价变形去掉x，变为关于θ的恒等式处理．

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