已知：△ABC内接于⊙O，过点B作直线EF，AB为非直径的弦，且∠CBF=∠A．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若∠A=30°，BC=2，连接OC并延长交EF于点M，求由弧BC、线段BM和CM所围成的图形的面积．

Question

已知：△ABC内接于⊙O，过点B作直线EF，AB为非直径的弦，且∠CBF=∠A．

（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若∠A=30°，BC=2，连接OC并延长交EF于点M，求由弧BC、线段BM和CM所围成的图形的面积．

Answer 1

（1）证明：连接BO并延长交⊙O于H，连接HC，
则∠H=∠A，∵HB是直径，∴∠HCB=90°
∴∠H+∠CBH=90°．
又∵∠A=∠CBF
∴∠CBF+∠CBH=90°
∴HB⊥EF．
又∵OB是半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）在Rt△HCB中，BC=2，∠H=∠A=30°，
∴HB=4，OB=2．
∵∠BOM=2∠A=60°，
∴BM＝OB×tan60°＝2√(3)，
S=S_△OBM-S_扇形OBC=(1)/(2)OB•BM−(60π×22)/(360)=(1)/(2)×2×2√(3)−(2π)/(3)=2√(3)−(2π)/(3)．
∴由弧BC、线段BM和CM所围成的图形的面积为2√(3)−(2π)/(3)．