已知如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB的中点为点M．（1）以点C为圆心，4为半径作⊙C，则点A、B、M分别与⊙C有怎样的位置关系？（2）若以点C为圆心作⊙C，使A、B、M三点中至少有一点

Question

已知如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB的中点为点M．
（1）以点C为圆心，4为半径作⊙C，则点A、B、M分别与⊙C有怎样的位置关系？
（2）若以点C为圆心作⊙C，使A、B、M三点中至少有一点在⊙C内，且至少有一点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围．

Answer 1

（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=5，AB的中点为点M，
∴AB=√(AC2+BC2)=√(16+25)=√(41)，CM=(1)/(2)AB=(√(41))/(2)，
∵以点C为圆心，4为半径作⊙C，
∴AC=4，则A在圆上，CM=(√(41))/(2)＜4，则M在圆内，BC=5＞4，则B在圆外；

（2）以点C为圆心作⊙C，使A、B、M三点中至少有一点在⊙C内时，
r＞(√(41))/(2)，
当至少有一点在⊙C外时，
r＜5，
故⊙C的半径r的取值范围为：(√(41))/(2)＜r＜5．