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已知A,B是抛物线W:y=x2上的两个点,点A的坐标为(1,1),直线AB的斜率为k,O为坐标原点.(Ⅰ)若抛物线W的焦点在直线AB的下方,求k的取值范围;(Ⅱ)设C为W上一点,且AB⊥AC,过B,C
题目详情
已知A,B是抛物线W:y=x2上的两个点,点A的坐标为(1,1),直线AB的斜率为k,O为坐标原点.
(Ⅰ)若抛物线W的焦点在直线AB的下方,求k的取值范围;
(Ⅱ)设C为W上一点,且AB⊥AC,过B,C两点分别作W的切线,记两切线的交点为D,求|OD|的最小值.
(Ⅰ)若抛物线W的焦点在直线AB的下方,求k的取值范围;
(Ⅱ)设C为W上一点,且AB⊥AC,过B,C两点分别作W的切线,记两切线的交点为D,求|OD|的最小值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)抛物线y=x2的焦点为(0,
).…(1分)
由题意,得直线AB的方程为y-1=k(x-1),…(2分)
令x=0,得y=1-k,即直线AB与y轴相交于点(0,1-k).…(3分)
∵抛物线W的焦点在直线AB的下方,
∴1-k>
,
解得k<
.…(5分)
(Ⅱ)设B(x1,x12),C(x2,x22),则
∵A(1,1)且AB⊥AC,
∴
•
=−1
即(x1+x2)+x1•x2=-2------(6分)
又∵y′=2x,∴B、C处的切线的斜率为k1=2x1,k2=2x2,
∴B、C处的切线方程为y-x12=2x1(x-x1)和y-x22=2x2(x-x2),
联立解得D(
,x1•x2)------(8分)
设x1x2=t,由(x1+x2)+x1•x2=-2得
=-1-
,
∴|OD|2=(-1-
)2+t2=
t2+t+1-----(10分)
当t=-
时,|OD|2min=
,
∴|OD|min=
-----(12分)
1 |
4 |
由题意,得直线AB的方程为y-1=k(x-1),…(2分)
令x=0,得y=1-k,即直线AB与y轴相交于点(0,1-k).…(3分)
∵抛物线W的焦点在直线AB的下方,
∴1-k>
1 |
4 |
解得k<
3 |
4 |
(Ⅱ)设B(x1,x12),C(x2,x22),则
∵A(1,1)且AB⊥AC,
∴
x22−1 |
x2−1 |
x12−1 |
x1−1 |
即(x1+x2)+x1•x2=-2------(6分)
又∵y′=2x,∴B、C处的切线的斜率为k1=2x1,k2=2x2,
∴B、C处的切线方程为y-x12=2x1(x-x1)和y-x22=2x2(x-x2),
联立解得D(
x1+x2 |
2 |
设x1x2=t,由(x1+x2)+x1•x2=-2得
x1+x2 |
2 |
t |
2 |
∴|OD|2=(-1-
t |
2 |
5 |
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当t=-
2 |
5 |
4 |
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∴|OD|min=
2
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