在数列{an}中，a1＝2，an+1＝4an－3n＋1，n∈N*．(Ⅰ)证明数列{an－n}是等比数列；(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn；(Ⅲ)证明不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．

Question

在数列{a_n}中，a₁＝2，a_n+1＝4a_n－3n＋1，n∈N^*．

(Ⅰ)证明数列{a_n－n}是等比数列；

(Ⅱ)求数列{a_n}的前n项和S_n；

(Ⅲ)证明不等式S_n+1≤4S_n，对任意n∈N^*皆成立．

Answer 1

　　本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．满分12分．

　　(Ⅰ)证明：由题设，得

　　，．

　　又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，于是数列的通项公式为

　　．

　　所以数列的前项和．

　　(Ⅲ)证明：对任意的，

　　

　　．

　　所以不等式，对任意皆成立．