若不等式ln（x+2）+a（x2+x）≥0对于任意的x∈[-1，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（）A.[0，+∞）B.[0，1]C.[0，e]D.[-1，0]

Question

若不等式ln（x+2）+a（x²+x）≥0对于任意的x∈[-1，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A. [0，+∞）

B. [0，1]

C. [0，e]

D. [-1，0]

Answer 1

令f（x）=ln（x+2）+a（x²+x），x∈[-1，+∞），
∵不等式ln（x+2）+a（x²+x）≥0对于任意的x∈[-1，+∞）恒成立，
∴f_min（x）≥0，
f′（x）=(1)/(x+2)+2ax+a=(2ax2+5ax+2a+1)/(x+2)，
令g（x）=2ax²+5ax+2a+1，
（1）若a=0，则g（x）=1，∴f′（x）>0，
∴f（x）在[-1，+∞）上单调递增，∴f_min（x）=f（-1）=0，符合题意；
（2）若a>0，则g（x）的图象开口向上，对称轴为x=-(5)/(4)，
∴g（x）在[-1，+∞）上单调递增，∴g_min（x）=g（-1）=1-a，
①若1-a≥0，即0<a≤1，则g（x）≥0，∴f′（x）≥0，由（1）可知符合题意；
②若1-a<0，即a>1，则存在x₀∈（-1，+∞），
使得当x∈（-1，x₀）时，g（x）<0，当x∈（x₀，+∞）时，g（x）>0，
∴f（x）在（-1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，
∴f_min（x）<f（-1）=0，不符合题意；
（3）若a<0，则g（x）的图象开口向下，对称轴为x=-(5)/(4)，
∴g（x）在[-1，+∞）上单调递减，g_max（x）=g（-1）=1-a>0，
∴存在x₁∈（-1，+∞），使得当x∈（-1，x₁）时，g（x）>0，当x∈（x₁，+∞）时，g（x）<0，
∴f（x）在（-1，x₁）单调递增，在（x₁，+∞）上单调递减，
∴f（x）在（-1，+∞）上不存在最小值，不符合题意；
综上，a的取值范围是[0，1]．
故选B．