p为等边三角形abc内一点,pc=3,pa=4,pb=5,求三角形边长

Question

p为等边三角形abc内一点,pc=3,pa=4,pb=5,求三角形边长

Answer 1

作∠QAC＝∠PAB,使P、Q在AC的两侧,且QA＝PA＝4.
∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC＝60°、AB＝AC.
∵∠QAC＝∠PAB,∴∠PAQ＝∠PAC＋∠QAC＝∠PAC＋∠PAB＝∠BAC＝60°,又QA＝PA,
∴△APQ是等边三角形,∴∠APQ＝60°、PQ＝PA＝4.
∵AB＝AC、PA＝QA、∠PAB＝∠QAC,∴△PAB≌△QAC,∴PB＝QC＝5.
∵PQ＝4、PC＝3、QC＝5,∴PQ^2＋PC^2＝QC^2,∴∠CPQ＝90°.
由余弦定理,有：
AC^2＝PA^2＋PC^2－2PA×PCcos∠APC＝16＋9－2×4×3cos（90°＋60°）＝25＋12√3.
∴AC＝√（25＋12√3）.
∴△ABC的边长为√（25＋12√3）.