设数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn=（an+12）2成立．（1）求数列{an}的前n项和Sn；（2）记数列bn=an+λ，n∈N*，λ∈R，其前n项和为Tn．①若数列{Tn}的最小值为T6，求实数λ的取值范围；

Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*都有S_n=（(an+1)/(2)）²成立．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）记数列b_n=a_n+λ，n∈N^*，λ∈R，其前n项和为T_n．
①若数列{T_n}的最小值为T₆，求实数λ的取值范围；
②若数列{b_n}中任意的不同两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．试问：是否存在这样的“封闭数列”{b_n}，使得对任意n∈N^*，都有T_n≠0，且(1)/(12)＜(1)/(T1)+(1)/(T2)+(1)/(T3)+L+(1)/(Tn)＜(11)/(18)．若存在，求实数λ的所有取值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）法一：由S_n=（(an+1)/(2)）² 得：4Sn＝

a

2 n

+2an+1①，4Sn+1＝

a

2 n+1

+2an+1+1②，
②-①得4an+1＝

a

2 n+1

−

a

2 n

+2an+1−2an，得到2（a_n+1+a_n）=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）
由题知a_n+1+a_n≠0得a_n+1-a_n=2，
又S1＝a1＝((a1+1)/(2))2，化为4a1＝

a

2 1

+2a1+1，解得a₁=1．
∴数列{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
因此前n项和S_n=(n(1+2n−1))/(2)=n²；
法二：由S1＝a1＝((a1+1)/(2))2，化为4a1＝

a

2 1

+2a1+1，解得a₁=1．
当n≥2时，2√(Sn)＝an+1＝Sn−Sn−1+1，
得到(√(Sn)−1)2＝Sn1，即√(Sn)−√(Sn−1)＝1
所以数列{√(Sn)}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴√(Sn)＝1+(n−1)×1=n，得到Sn＝n2．
（2）①由b_n+2n-1+λ得到其前n项和T_n=n²+λn，
由题意T_n最小值为T₆，即T_n≥T₆，n²+λn≥36+6λ，
当1≤n＜6时，λ≤-（6+n），∴λ≤-11．
当n＞6时，λ≥-（6+n），∴λ≥-13．
综上可得：λ∈[-13，-11]．
②因{bn}是“封闭数列”，设b_p+b_q=b_m（p，q，m∈Z^*，且任意两个不相等 ）得
2p-1+λ+2q-1+λ=2m-1+λ，化为λ=2（m-p-q）+1，则λ为奇数．
由任意n∈N^*，都有T_n≠0，且(1)/(12)＜(1)/(T1)+(1)/(T2)+(1)/(T3)+…+(1)/(Tn)＜(11)/(18)．
得 (1)/(12)＜T1＜(11)/(18)，化为(7)/(11)＜λ＜11，即λ的可能值为1，3，5，7，9，
又Tn＝n2+λn＞0，因为(1)/(n(n+λ))＝(1)/(λ)((1)/(n)−(1)/(n+λ))，
检验得满足条件的λ=3，5，7，9，
即存在这样的“封闭数列”{b_n}，使得对任意n∈N^*，都有T_n≠0，
且(1)/(12)＜(1)/(T1)+(1)/(T2)+(1)/(T3)+…+(1)/(Tn)＜(11)/(18)．，
所以实数λ的所有取值集合为{3，5，7，9}．