抛物线y=34x2+94x-3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，A点在左边，若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、F、P为顶点，且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，

Question

抛物线y=(3)/(4)x²+(9)/(4)x-3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，A点在左边，若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、F、P为顶点，且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

如图所示，
①过点C作CP₁∥x轴交抛物线于点P₁，过点P₁作P₁E₁∥AC交x轴于点E₁，此时四边形ACP₁E₁为平行四边形，
∵C（0，-3）
∴设P₁（x，-3）
∴(3)/(4)x²+(9)/(4)x-3=0，
解得x₁=0，x₂=-3
∴P₁（-3，-3）；
②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC=PE时，四边形ACEP为平行四边形，
∵C（0，-3）
∴设P（x，3），
∴(3)/(4)x²+(9)/(4)x-3=3，
x²+3x-8=0
解得x=(−3+√(41))/(2)或x=(−3−√(41))/(2)，
此时存在点P₂（(−3+√(41))/(2)，3）和P₃（(−3−√(41))/(2)，3），
综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是P₁（-3，-3），P₂（(−3+√(41))/(2)，3）和P₃（(−3−√(41))/(2)，3）．