过点p（二分之根号10,0）做倾斜角为a的直线与曲线x^2+12y^2=1交于点M,N,求lPMl*lPNl的最小值及相应的a的值

Question

过点p（二分之根号10,0）做倾斜角为a的直线与曲线x^2+12y^2=1交于点M,N,求lPMl*lPNl的最小值及相应的a的值

Answer 1

设M(x1,y1),N(x2,y2)直线方程y=k(x-√10/2),
则k=tana,向量PM=(x1-√10/2,y1),向量PN=(x2-√10/2,y2),
联立椭圆方程x^2+12y^2=1,得(12k^2+1)x^2-(12√10)k^2x+30k^2-1=0,
于是根据根与系数的关系,x1+x2=(12√10)k^2/(12k^2+1),x1x2=(30k^2-1)/(12k^2+1),
则lPMl*lPNl=向量PM·向量PN=(x1-√10/2,y1)·(x2-√10/2,y2)
=(x1-√10/2)(x2-√10/2)+y1y2=(k^2+1)(x1-√10/2)(x2-√10/2)
=(k^2+1)(x1x2-√10/2(x1+x2)+5/2)
=(k^2+1)[(30k^2-1)/(12k^2+1)-(√10/2)(12√10)k^2/(12k^2+1)+5/2]
=(3k^2+3)/(24k^2+2)=(1/8)[1+11/(12k^2+1)]
于是当直线与椭圆相切时,lPMl*lPNl的值最小,
此时△=0,即k^2=1/18,lPMl*lPNl的最小值为19/20,
于是此时a=arctan(1/18)或π-arctan(1/18).