直线y＝kx＋b与曲线交于A、B两点，记△AOB的面积为S（O是坐标原点）．（1）求曲线的离心率；（2）求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；（3）当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．

Question

直线y＝kx＋b与曲线 交于A、B两点，记△AOB的面积为S（O是坐标原点）．
（1）求曲线的离心率；
（2）求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（3）当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．

Answer 1

（1）离心率 ．（2）当 时， S取到最大值1．
（3） 或 或 或 ．

试题分析：（1）转化成标准方程 ，明确曲线为椭圆， ，进一步得到椭圆的离心率.
（2）设点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，由 ，解得 ，
将面积用b表示.
（3）由 ,应用弦长公式，得到｜AB｜＝ ，
根据O到AB的距离得到 代入上式并整理，解得k,b.
试题解析：（1）曲线的方程可化为： ，
∴此曲线为椭圆， ，
∴此椭圆的离心率 ．          4分
（2）设点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
由 ，解得 ，             6分
所以
当且仅当 时， S取到最大值1．           8分
（3）由 得 ， 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   ①
｜AB｜＝         ②
又因为O到AB的距离 ，所以 　 ③
③代入②并整理，得
解得， ，代入①式检验，△＞0 ，
故直线AB的方程是 
或 或 或 ．          14分