对集合定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减次序重新排列该子集中的元素,然后从最大数开始交替减、加后合计的数,如{1,2,4,6},交替和就是6-4+2-1=3则{1,2…,n}的所有子集的“交替和”

Question

对集合定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减次序重新排列该子集中的元素,然后从最大数开始交替减、加后合计的数,如{1,2,4,6},交替和就是6-4+2-1=3则{1,2…,n}的所有子集的“交替和”的总和为____

Answer 1

首先有一半子集有n,无论什么子集,n前没有减号(因为其最大),所有n加起来即n*2^(n-1)(n的数目即子集数的一半）.
n后的所有数,每一个在子集中被+或-减的数量相等,加起来为零.
例如集合{1,2,3}有八个子集,{1}{2}{3}{1,2}{2,3}{1,3}{1,2,3}和空集.
对于2,在{2}和{1,2}中的2,交替和加起来的话,都是加2
在{2,3}和{1,2,3}中的2,交替和加起来的话,都是减去2
总的来看,加2和减2的次数一样……就是零.
对与1也一样.
所以,3后.同理：
n后的数加起来都是0,答案就是n•2^(n-1)