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已知实数a，b，c，d满足2a2+3c2=2b2+3d2=（ad-bc）2=6，求：（a2+b2）（c2+d2）的值．
题目详情
已知实数a，b，c，d满足2a2+3c2=2b2+3d2=（ad-bc）2=6，求：（a2+b2）（c2+d2）的值．
▼优质解答
答案和解析
∵2a2+3c2=2b2+3d2=6，
∴（2a2+3c2）（2b2+3d2）=36，即4a2b2+6a2d2+6b2c2+9c2d2=36，
∵（ad-bc）2=6，
∴a2d2-2abcd+b2c2=6，即a2d2+b2c2=6+2abcd，
∴6a2d2+6b2c2=36+12abcd，
∴4a2b2+36+12abcd+9c2d2=36，即（2ab+3cd）2=0，
∴2ab=-3cd ①，
由2a2+3c2=2b2+3d2知2（a2-b2）=-3（c2-d2） ②，
①×②，得：-6cd（a2-b2）=-6ab（c2-d2），即cd（a2-b2）=ab（c2-d2），
a2cd-b2cd-abc2+abd2=0，
（ac+bd）（ad-bc）=0，
∵（ad-bc）2=6，
∴ad-bc≠0，
则ac+bd=0，
∴（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2
=（ac+bd）2+（ad-bc）2
=02+6
=6．
∴（2a2+3c2）（2b2+3d2）=36，即4a2b2+6a2d2+6b2c2+9c2d2=36，
∵（ad-bc）2=6，
∴a2d2-2abcd+b2c2=6，即a2d2+b2c2=6+2abcd，
∴6a2d2+6b2c2=36+12abcd，
∴4a2b2+36+12abcd+9c2d2=36，即（2ab+3cd）2=0，
∴2ab=-3cd ①，
由2a2+3c2=2b2+3d2知2（a2-b2）=-3（c2-d2） ②，
①×②，得：-6cd（a2-b2）=-6ab（c2-d2），即cd（a2-b2）=ab（c2-d2），
a2cd-b2cd-abc2+abd2=0，
（ac+bd）（ad-bc）=0，
∵（ad-bc）2=6，
∴ad-bc≠0，
则ac+bd=0，
∴（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2
=（ac+bd）2+（ad-bc）2
=02+6
=6．
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