已知抛物线C：y2=4x与点M（-1，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若MA•MB=0，则k=．

Question

已知抛物线C：y²=4x与点M（-1，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若

MA

•

MB

=0，则k=___．

Answer 1

抛物线的焦点为F（1，0），∴直线AB的方程为y=kx-k．
联立方程组

y2=4x

y=kx-k

，消元得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=(2k2+4)/(k2)=2+(4)/(k2)．x₁x₂=1．
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k=(4)/(k)，y₁y₂=-4．
∵

MA

•

MB

=0，∴MA⊥MB，∴k_MA•k_MB=-1．
即(y1-2)/(x1+1)•(y2-2)/(x2+1)=-1，∴y₁y₂-2（y₁+y₂）+4+x₁x₂+x₁+x₂+1=0，
∴-4-(8)/(k)+4+1+2+(4)/(k2)+1=0，解得k=1．
故答案为：1．