图中A是某种材料制成的小球，B为某种材料制成的均匀刚性薄球壳．假设A与B的碰撞是完全弹性的，B与桌面的碰撞是完全非弹性的．已知球壳B的质量为m，内半径为r，放置在水平的、无弹性

Question

图中A是某种材料制成的小球，B为某种材料制成的均匀刚性薄球壳．假设A与B的碰撞是完全弹性的，B与桌面的碰撞是完全非弹性的．已知球壳B的质量为m，内半径为r，放置在水平的、无弹性的桌面上．小球A的质量亦为m，通过一自然长度为r的柔软的弹性轻绳悬挂在球壳内壁的最高处，如图所示．弹性轻绳被拉长时相当于倔强系数为k的弹簧，且k_r=(9ma)/(2)．起初将小球A拉到球壳内的最低处，然后轻轻释放．试详细的、定量的讨论小球以后的运动．

Answer 1

小球A的平衡位置O′与球心O的距离为△l，△l=(mg)/(k)=(2)/(9)r，
以O′为原点建立如图1所示的x轴，

设任一时刻，小球A偏离平衡位置，其坐标为x，
则它受到的回复力为：F=-k（x+△l）+mg=-kx，
令：ω=√((k)/(m))=√((9g)/(2r))，则小球的运动方程为：x=Acos（ωt+φ₀），
因为t=0时，x₀=r-△l=(7)/(9)r，v₀=0，
小球的振幅：A=√(x20+(v20)/(ω2))=(7)/(9)r，初相为：φ₀=0，
小球的运动方程为：x=(7)/(9)rcosωt=(7)/(9)rcos√((9g)/(2r))t  ①
运动速度：v=-(7)/(9)√((9gr)/(2))sin√((9g)/(2r))t  ②
加速度为：a=-(7)/(2)gcos√((9g)/(2r))t  ③
当x=-(2)/(9)r时，即小球A回到球心O处，由①可得：
cos√((9g)/(2r))t₁=-(2)/(7)  （0＜t₁＜(T)/(2)），
所以：sin√((9g)/(2r))t₁=(3)/(7)√(5)   （0＜t₁＜(T)/(2)），
由②可知，此时小球的速度：v_A=-√((5)/(2)gr)，
由③可知，此时小球的加速度：a_A=g，
此后，小球向上运动，绳子不再拉紧小球，小球A做竖直上抛运动，
小球上升的最大高度不能超过r，故当小球A上升高度为r时，其速度大小为：
v=√(v2A−2gr)=√((gr)/(2))＞0，然后小球A与薄球壳B碰撞．
答：将小球A拉到球壳内的最低处轻轻释放后，小球先向上做简谐运动，然后做竖直上抛运动，再与B碰撞，碰撞后A向下做竖直下抛运动．