已知函数f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R．设函数f（x）在区间（-23，-13）内是减函数，求a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．设函数f（x）在区间（-(2)/(3)，-(1)/(3)）内是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

对函数f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．求导得f'（x）=3x²+2ax+1，
因为函数f（x）在区间（-(2)/(3)，-(1)/(3)）内是减函数，
所以当x∈（-(2)/(3)，-(1)/(3)）时f′（x）≤0恒成立，
结合二次函数的性质可知

f′(−(2)/(3))≤0

f′(−(1)/(3))≤0

，即

3×(−(2)/(3))2+2a×(−(2)/(3))+1≤0

3×(−(1)/(3))2+2a×(−(1)/(3))+1≤0

解得a≥2．
故a的取值范围为（2，+∞）