为什么cosx-1和-(x^2)/2是等价无穷小,希望有具体步骤和过程

Question

为什么cosx-1和-(x^2)/2是等价无穷小,希望有具体步骤和过程

Answer 1

cosx-1和-(x^2)/2是等价无穷小,即1-cosx和(x^2)/2为等阶无穷小
还得说明x→0,否则x→∞,1-cosx与x^2/2就不能是等阶无穷小.
应该是当x→0,1-cosx～x^2/2,
其实这个的严格证明还得用泰勒公式,用泰勒公式将cosx在x0=0处展开得：
cosx=1-x^2/2+x^4/4-x^6/6+...+(-1)^nx^2n/2n...
从而1-cosx=x^2/2-x^4/4+x^6/6+...+(-1)^nx^2n/2n...
故x^2/2是1-cosx的主部,
所以lim[(1-cosx)/(x^2/2)]=1（x→0）,由等价无穷小量的定义可知1-cosx与x^2/2为等价无穷小量,即cosx-1和-(x^2)/2是等价无穷小量.