如图，点E是△ABC的内心，线段AE的延长线交△ABC的外接圆于点D．（1）求证：ED=BD；（2）若∠BAC=90°，△ABC的外接圆的直径是6，求BD的长．

Question

如图，点E是△ABC的内心，线段AE的延长线交△ABC的外接圆于点D．

（1）求证：ED=BD；
（2）若∠BAC=90°，△ABC的外接圆的直径是6，求BD的长．

Answer 1

（1）证明：∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∴∠BED=∠ABE+∠BAD，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠EBD=∠CBE+∠CBD，
∴∠BED=∠EBD，
∴ED=BD；

（2） 连接CD，

∵∠BAC=90°，
∴BC是 O的直径，
∴∠BDC=90°，
∵ O的直径=6，
∴BC=6，
∵E为△ABC的内切圆的圆心，
∴∠BAD=∠CAD，
∴BD=DC，
∴BD=DC=(√(2))/(2)BC=3√(2)．