如图，△ABC中，AB=AC，O是的外接圆，BD⊥AC于点D，交O于点F，AO的延长线交BD于点E，连接AF．（1）求证：AE=AF；（2）若sin∠BAC=45，AE=5，求EF的长．

Question

如图，△ABC中，AB=AC， O是的外接圆，BD⊥AC于点D，交 O于点F，AO的延长线交BD于点E，连接AF．

（1）求证：AE=AF；
（2）若sin∠BAC=(4)/(5)，AE=5，求EF的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC，
∴弧AB=弧AC，
∴AE⊥BC，
∴∠EAC+∠C=90°，
又∵∠DBC+∠C=90°，∠EAC=∠CBD，
∴∠CBD=∠CAF，
∴∠CAF=∠CAE
在△EAD和△FAD中
∵

∠EAD=∠FAD

AD=AD

∠EDA=∠FDA

，
∴△EAD≌△FAD（ASA），
∴AE=AF；

（2） ∵sin∠BAC=(BD)/(AB)=(4)/(5)，
设BD=4a，AB=5a，则AD=3a，CD=2a，
∵∠EAC=∠CBD，
∠ADE=∠BDC，
∴Rt△DAE∽Rt△DBC，
∴(AD)/(BD)=(DE)/(DC)，DE=(3)/(2)a，
∴AE=√(AD2+DE2)=(3√(5))/(2)a，
∵AE=5
∴(3√(5))/(2)a=5，
解得：a=(2√(5))/(3)，
∴EF=2DE=3a=2√(5)．