正整数a,b,c,d满足等式ab=cd,求证：k=a^2005+b^2005+c^2005+d^2005是和数.

Question

正整数a,b,c,d满足等式ab=cd,求证：k=a^2005+b^2005+c^2005+d^2005是和数.

Answer 1

设n=ab=cd,
若a,b是质数,则n＝ab是唯一的分解,故n＝cd是同一分解,
则a=c,b=d或a=d,b=c
不妨设a=c,b=d
则
k=a^2005+b^2005+c^2005+d^2005
=2(a^2005+b^2005)
显然是合数；
若a,b,c,d不都是质数,则n可分解为n＝ab=cd=efg,其中e,f,g也是正整数
如果ab和cd是n的同一分解,则和上面一样,
现在考虑ab和cd不是同一分解,不妨设
a=e,b=fg
c=ef,d=g
则
a^2005+b^2005+c^2005+d^2005
=e^2005+f^2005*g^2005+e^2005*f^2005+g^2005
=e^2005(1+f^2005)+g^2005(1+f^2005)
=(e^2005+g^2005)(1+f^2005)
显然也是合数；
故k=a^2005+b^2005+c^2005+d^2005是合数.