设数列{xn}的前n项和为Sn，且4xn-Sn-3=0（n∈N*）；（1）求数列{xn}的通项公式；（2）若数列{yn}满足yn+1-yn=xn（n∈N*），且y1=2，求满足不等式yn>559的最小正整数n的值．

Question

设数列{x_n}的前n项和为S_n，且4x_n-S_n-3=0（n∈N^*）；
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）若数列{y_n}满足y_n+1-y_n=x_n（n∈N^*），且y₁=2，求满足不等式yn>(55)/(9)的最小正整数n的值．

Answer 1

（1）∵4x_n-S_n-3=0（n∈N^*），∴n=1时，4x₁-x₁-3=0，解得x₁=1．
n≥2时，由S_n=4x_n-3，∴x_n=S_n-S_n-1=4x_n-3-（4x_n-1-3），∴x_n=(4)/(3)xn-1，∴数列{x_n}，是等比数列，公比为(4)/(3)．
∴x_n=((4)/(3))n-1．
（2）y_n+1-y_n=x_n=((4)/(3))n-1，且y₁=2，
∴y_n=y₁+（y₂-y₁）+（y₃-y₂）+…+（y_n-y_n-1）
=2+1+(4)/(3)+((4)/(3))2+…+((4)/(3))n-2=2+(1-((4)/(3))n-1)/(1-(4)/(3))=3×((4)/(3))n-1-1．当n=1时也满足．
∴y_n=3×((4)/(3))n-1-1．
不等式yn>(55)/(9)，化为：((4)/(3))n-1>(64)/(27)=((4)/(3))3，∴n-1>3，解得n>4．
∴满足不等式yn>(55)/(9)的最小正整数n的值为5．