在△ABC中，BC=10，S△ABC=30，矩形DEFG内接于△ABC，设DE=x，S矩形DEFG=y．求：（1）y与x的函数关系式及定义域；（2）当x为何值时，四边形DEFG为正方形，求正方形DEFG的面积．

Question

在△ABC中，BC=10，S_△ABC=30，矩形DEFG内接于△ABC，设DE=x，S_矩形DEFG=y．求：

（1）y与x的函数关系式及定义域；
（2）当x为何值时，四边形DEFG为正方形，求正方形DEFG的面积．

Answer 1

（1）点A作AG⊥BC于点G，交DG于点K，
∵△ABC中BC=10，S_△ABC=30，
∴30=(1)/(2)×10×AG，
解得AG=6．
∵DE=x，S_矩形DEFG=y，
∴DG=(y)/(x)，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴(AK)/(AG)=(DG)/(BC)，即(AK)/(6)=((y)/(x))/(10)，
解得AK=(3y)/(5x)，
∴GK=6-(3y)/(5x)，
∴x=6-(3y)/(5x)，整理得y=10x-(5)/(3)x²（0＜x＜6）；
（2）由（1）知y=10x-(5)/(3)x²=x[10-(5)/(3)x]，
∵矩形DEFG的边长DE=x，
∴边DE的邻边DG=10-(5)/(3)x
∵当矩形DEFG为正方形时，x=10-(5)/(3)x，
解得x=(15)/(4)，
∴当x=(15)/(4)时，四边形DEFG为正方形，S_{正方形DEFG}=x²=（(15)/(4)）²=(225)/(16)．