是否存在整数a,b,c使得关于x的方程ax平方+bx+c及（a+1）x平方+（b+1）+（c+1）都有2个整数根

Question

是否存在整数a,b,c使得关于x的方程ax平方+bx+c及（a+1）x平方+（b+1）+（c+1）都有2个整数根

Answer 1

不存在.方程1的两根之和为-b/a,两根之积为c/a,方程2分子分母都加1.整数=（c+1)/(a+1)=(c-a+a+1)/(a+1)=(c-a)/(a+1)+1.所以c-a是a+1的倍数,又c是a的倍数,故C-a是（a+1)和a的乘积的倍数,设k倍.则c=c-a+a=k(a+1)a+a.
连续的两整数积为欧,故a+偶的结果与a同奇偶.故c与A同奇偶,同理B也同.故上述两个方程都可化为系数都是奇数的二次方程.奇数相除仍奇数,故两根之和为奇数,两根积为奇数.积为奇数推两根奇数,奇数和为奇数错误,故矛盾.不存在.