问一个关于正四面体的向量问题正四面体O-ABC,自O作平面ABC的垂线,垂足为G有道题是这样说OG=1/3(OA+OB+OC)(OGOAOBOC是向量)怎么证明阿?G是地面重心吗?为什么阿?她垂直下来的点不是到ABC三点距离

Question

问一个关于正四面体的向量问题
正四面体O-ABC,自O作平面ABC的垂线,垂足为G
有道题是这样说OG=1/3(OA+OB+OC) (OG OA OB OC是向量)
怎么证明阿?
G是地面重心吗?为什么阿?她垂直下来的点不是到ABC三点距离都一样的?(匀称)?
那怎么证明G是底面重心阿

Answer 1

我们先证明G是底面重心……
AG^2=OA^2-OG^2
OA=OB=OC,所以AG=BG=CG,G是外心
△ABC是个正三角形,所以G是重心
然后延长AG交BC于D,AD=1/2（AB+AC）
AG=2/3 AD=1/3（AB+AC)
同理BG=1/3（BC+BA)
CG=1/3（CA+CB)
所以AG+BG+CG=0
OG=OA+AG=OB+BG=OC+CG
所以OG=1/3(OA+AG+OB+BG+OC+CG)=1/3(OA+OB+OC)