已知：如图，正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8内接于半径为R的⊙O．（1）求A1A3的长；（2）求四边形A1A2A3O的面积；（3）求此正八边形的面积S．

Question

已知：如图，正八边形A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇A₈内接于半径为R的⊙O．
（1）求A₁A₃的长；
（2）求四边形A₁A₂A₃O的面积；
（3）求此正八边形的面积S．

Answer 1

（1）∵正八边形A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇A₈内接于半径为R的⊙O．
∴∠A₃OA₂=∠A₂OA₁=(360°)/(8)=45°，
∴∠A₃OA₁=90°，
∵OA₃=OA₁=R，
∴A₃A₁=√(OA23+OA21)=√(2R2)=√(2)R；

（2）∵∠A₃OA₂=∠A₂OA₁=45°，
∴

A3A2

=

A2A1

，
∴OA₂⊥A₁A₃，
四边形A₁A₂A₃O的面积为：(1)/(2)OA₂•A₃B+(1)/(2)OA₂•A₁B=(1)/(2)OA₂•A₁A₃=(1)/(2)R•√(2)R=

作业帮用户 2017-10-25

问题解析

（1）根据正多边形中心角求法得出∠A₃OA₂=∠A₂OA₁=(360°)/(8)=45°，进而得出∠A₃OA₁=90°，再利用勾股定理求出A₃A₁；
（2）利用已知得出OA₂⊥A₁A₃，得出四边形A₁A₂A₃O的面积为：(1)/(2)OA₂•A₃B+(1)/(2)OA₂•A₁B进而求出即可；
（3）利用（2）中所求即可得出正八边形的面积S为：(360)/(90)×(√(2))/(2)R²得出答案即可．

名师点评

本题考点：

正多边形和圆．

考点点评：

此题主要考查了正多边形和圆的有关计算，根据已知得出中心角∠A₃OA₁=90°再利用勾股定理得出是解题关键．

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