已知等比数列{an}的前15项之和为8,bn=(-1)^n+1*an且数列{bn}的前15项之和为5,求数列{an^2}的前15项之和

Question

已知等比数列{an}的前15项之和为8,bn=(-1)^n+1*an且数列{bn}的前15项之和为5,求数列{an^2}的前15项之和

Answer 1

设{an}公比为q.
b(n+1)/bn=](-1)^(n+2)]×a(n+1)/[(-1)^(n+1) ×an]=(-1)×a(n+1)/an=(-1)×q=-q
b1=(-1)²×a1=a1
数列{bn}是以a1为首项,-q为公比的等比数列.
q=1时,-q=-1
a1+a2+...+a15=15a1=8 a1=8/15
b1+b2+...+b15=5
a1-a2+a3-a4+...+a13-a14+a15=a15=a1=5≠8/15,因此公比q≠1
a1+a2+...+a15=a1(q^15 -1)/(q-1)=8 (1)
b1+b2+...+b15=a1[(-q)^15 -1]/(-q-1)=(q^15 +1)/(q+1)=5 (2)
(1)×(2)
[a1(q^15 -1)/(q-1)][a1(q^15 +1)/(q+1)]=40
a1²(q^15 -1)(q^15 +1)/[(q-1)(q+1)]=40
a1²(q^30 -1)/(q²-1)=40
a(n+1)²/an²=q²,数列{an²}是以a1²为首项,q²为公比的等比数列.
Sn=a1²+a2²+...+a15²
=a1²×[(q²)^15 -1]/(q²-1)
=a1²×(q^30 -1)/(q²-1)
=40