已知函数f（x）=4sin2（x+）+4sin（x+）sin（x-）-2．（I）求函数f（x）在[0，]上的值域；（Ⅱ）若对于任意的x∈R，不等式f（x）≤f（x）恒成立，求sin（2x）．

Question

已知函数f（x）=4sin²（x+）+4sin（x+）sin（x-）-2．
（I）求函数f（x）在[0，]上的值域；
（Ⅱ）若对于任意的x∈R，不等式f（x）≤f（x）恒成立，求sin（2x）．

Answer 1

（I）利用利用降幂公式、两角和与差的正弦公式及辅助角公式可将y=f（x）转化为f（x）=4sin（2x-）-1，再利用复合三角函数的单调性即可求得函数f（x）在[0，]上的值域；
（Ⅱ）依题意知，f（x）是f（x）的最大值，从而可求得2x=2kπ+（k∈Z），继而可得sin（2x）．
【解析】
（I）∵f（x）=4sin²（x+）+4sin（x+）sin（x-）-2．
=2[1-cos（2x+）]+4（sinx+cosx）（sinx-cosx）-2
=2+2sin2x+sin²x-3cos²x-2
=2sin2x-2cos2x-1
=4sin（2x-）-1…4分
∴x∈[0，]，
∴2x-∈[-，]，
∴-≤sin（2x-）≤1，
∴-3≤f（x）≤3，
∴函数f（x）在[0，]上的值域为[-3，3]…8分
（Ⅱ）∵对于任意的x∈R，不等式f（x）≤f（x）恒成立，
∴f（x）是f（x）的最大值，
因此2x-=2kπ+（k∈Z），
∴2x=2kπ+（k∈Z），
∴sin（2x）=sin（2kπ+-）=sin=…12分