（2014•潮安区模拟）已知：如图，▱ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP交BA的延长线

Question

（2014•潮安区模拟）已知：如图，▱ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是N，设运动时间为t（s）（0＜t＜1）．
（1）当t为何值时，四边形AQDM是平行四边形？
（2）证明：在P、Q运动的过程中，总有CQ=AM；
（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半？若存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）连结AQ、MD，
∵当AP=PD时，四边形AQDM是平行四边形，
∴3t=3-3t，
解得：t=(1)/(2)，
∴t=(1)/(2)s时，四边形AQDM是平行四边形．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AMP∽△DQP，
∴(AM)/(DQ)=(AP)/(PD)，
∴(AM)/(1-t)=(3t)/(3-3t)，
∴AM=t，
即在P、Q运动的过程中，总有CQ=AM；

（3）∵MN⊥BC，
∴∠MNB=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BMN=45°=∠B，
∴BN=MN，
∵BM=AB+AM=1+t，
在Rt△BMN中，由勾股定理得：BN=MN=(√(2))/(2)（1+t），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵MN⊥BC，
∴MN⊥AD，
设四边形ANPM的面积为y，
∴y=(1)/(2)×AP×MN=(1)/(2)×3t×(√(2))/(2)（1+t）=(3√(2))/(4)t²+(3√(2))/(4)t（0＜t＜1）．
假设存在某一时刻t，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半，
∴(3√(2))/(4)t²+

3

作业帮用户 2017-10-16

问题解析

（1）连结AQ、MD，根据平行四边形的对角线互相平分得出AP=DP，代入求出即可；
（2）根据已知得出△AMP∽△DQP，再根据相似三角形的性质得出(AM)/(DQ)=(AP)/(PD)，求出AM的值，从而得出在P、Q运动的过程中，总有CQ=AM；
（3）根据已知条件得出BN=MN，再根据BM=AB+AM，由勾股定理得出BN=MN=(√(2))/(2)（1+t），根据四边形ABCD是平行四边形，得出MN⊥AD，设四边形ANPM的面积为y，得出y=(1)/(2)×AP×MN，假设存在某一时刻t，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半，得出(3√(2))/(4)t²+(3√(2))/(4)t=(1)/(2)×3×(√(2))/(2)，最后进行整理，即可求出t的值．

名师点评

本题考点：

相似形综合题．

考点点评：

本题考查了相似性的综合，用到的知识点是相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质、解直角三角形、勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，是一道综合性较强的题，有一定难度．

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