已知函数f（x）=x2lnx-a（x2-1），a∈R，（1）当a=0时，求f（x）的最小值；（2）当x≥1时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=x²lnx-a（x²-1），a∈R，
（1）当a=0时，求f（x）的最小值；
（2）当x≥1时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）a=0时，f（x）=x²lnx，f′（x）=x（2lnx+1），…（2分）
x∈（0，e−(1)/(2)）时，f（x）单调减，x∈（e −(1)/(2)，+∞）时，f（x）单调增，…（4分）
所以当x=e−(1)/(2)时，f（x）有最小值-(1)/(2e)．…（5分）
（2）由已知，即x≥1时，f（x）_min＞0，…（6分）
f′（x）=x（2lnx+1-2a），x≥1，…（8分）
当1-2a≥0，即a≤(1)/(2)时，f′（x）≥0恒成立，∴f（x）单调增
∴f（x）_min=f（1）=0，即a≤(1)/(2)时满足f（x）≥0恒成立．…（10分）
当1-2a＜0，即a＞(1)/(2)时，由f′（x）=0，得x=ea−(1)/(2)＞1，
∴x∈(1，ea−(1)/(2))时，f（x）单调减，即x∈（1，e a−(1)/(2)）时，
∴f（x）＜f（1）=0与题设矛盾，
即a＞(1)/(2)时，不能满足f（x）≥0恒成立．…（12分）
综上，所求a的取值范围是a≤(1)/(2)．…（13分）