在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BE⊥CD的延长线于E，连接AE，过点A作AF⊥AE交CD于点F．（1）若AE=5，求EF；（2）求证：CD=2BE+DE．

Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BE⊥CD的延长线于E，连接AE，过点A作AF⊥AE交CD于点F．
（1）若AE=5，求EF；
（2）求证：CD=2BE+DE．

Answer 1

（1）∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠BAC=90°，
∴B、E、A、C四点共圆，
∴∠ABE=∠ACF，∠AEF=∠ABC=45°，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF=90°，
∴∠AFE=45°=∠AEF，
∴AE=AF，
∵AE=5，
∴AF=5，
由勾股定理得：EF=√(52+52)=5√(2)；

（2）证明：过A作AM⊥EF于M，
∵∠EAF=90°，AE=AF，
∴∠MAF=(1)/(2)∠EAF=45°=∠AFM，
∴AM=MF，
∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵BE⊥CD，AM⊥CD，
∴∠BED=∠AMD=90°，
在△AMD和△BED中，

∠AMD＝∠BED

∠ADM＝∠BDE

AD＝BD

∴△AMD≌△BED（AAS），
∴BE=AM=MF，DE=DM，
∵∠EAF=∠CAD=90°，
∴∠EAB=∠FAC=90°-∠DAF，
在△EAB和△FAC中，

AE＝AF

∠EAB＝∠FAC

AB＝AC

∴△EAB≌△FAC（SAS），
∴BE=CF，
∴CD=CF+MF+DM=2BE+DE．