如图，AB⊥MN于A，CD⊥MN于D．点P是MN上一个动点．（1）如图①．BP平分∠ABC，CP平分∠BCD交BP于点P．若AB=4，CD=6．试求AD的长；（2）如图②，∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，若AB=4，求CD的长．

Question

如图，AB⊥MN于A，CD⊥MN于D．点P是MN上一个动点．
（1）如图①．BP平分∠ABC，CP平分∠BCD交BP于点P．若AB=4，CD=6．试求AD的长；
（2）如图②，∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，若AB=4，求CD的长．

Answer 1

（1）过点P作PE⊥BC于E，过点B作BF⊥CD于F，
∵AB⊥MN于A，CD⊥MN于D，BP平分∠ABC，
∴AP=PE，
在Rt△ABP和Rt△EBP中，

AP=EP

BP=BP

，
∴Rt△ABP≌Rt△EBP，
∴AB=BE=4，
同理可得CE=CD=6，
∴BC=BE+CE=10，
易证四边形ABFD是矩形，
∴BF=AD，CF=6-4=2，
∴AD=√(BC2-CF2)=4√(6)；

（2）延长CB和PA，记交点为点Q．
∵∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，
∴QB=BC（等腰三角形“三合一”的性质）．
∵BA⊥MN，CD⊥MN，
∴AB∥CD，
∴△QAB∽△QDC，
∴(AB)/(CD)=(QB)/(QC)=(1)/(2)，
∴CD=2AB=2×4=8．