已知在数列{an}中，a1=3，an+1=4an-3．（I）求证：数列{an-1}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，求Sn．

Question

已知在数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=4a_n-3．
（I）求证：数列{a_n-1}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵在数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=4a_n-3，
∴a_n+1-1=4（an-1），a₁-1=2，
∴(an+1−1)/(an−1)=4，
∴数列{a_n-1}是以2为首项，以4为公比的等比数列，…（4分）
∴an−1＝2×4n−1，
∴an＝2×4n−1+1．…（6分）
（Ⅱ）Sn＝2+2×4+2×42+…+2×4n−1+n＝(2×(1−4n))/(1−4)+n＝(2)/(3)×(4n−1)+n．…（12分）