如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点为点A，与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC.现有两动点P、Q分别从O、C两点同时出发，点P以每秒4个单位

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x轴的交点为点A，与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC.现有两动点P、Q分别从O、C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒）；
（1）求A、B、C三点的坐标和抛物线的顶点坐标；
（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；
（3）当 时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；
（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程。

Answer 1

（1） ，
令y=0，得x ² -8x-180=0，
（x-18）（x+10）=0，
∴x=18或x=-10，
∴A（18，0），
在 中，令x=0，得y=-10，
即B（0，-10），
由于BC∥OA，故点C的纵坐标为-10，
由 得x=8或x=0，
即C（8，-10），
且易求出顶点坐标为 ，
于是A（18，0），B（0，-10），C（8，-10），
顶点坐标为 ；
（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA，故只要QC=PA即可，
而PA=18-4t，CQ=t，
故18-4t=t，得 ；
（3）设点P运动t秒，则OP=4t，CQ=t， ，
说明P在线段OA上，且不与点O、A重合，
由于QC∥OP，知△QDC∽△PDO，
故
同理QC∥AF，
故 ，
即
∴AF=4t=OP，
∴PF=PA+AF=PA+OP=18，
又点Q到直线PF的距离d=|OB|=|-10|=10，
∴
故当 时，S _△PQF 总为定值90；
（4）由前面知道，P（4t，0），F（18+4t，0），Q（8-t，-10）， ，
构造直角三角形后易得：
PQ ² = （4t-8 +t） ² +10 ² = （5t -8） ² +100，
FQ ² =（18+4t-8+t） ² +10 ² =（5t+10） ² +100，
①若FP= FQ，即18 ² =（5t +10） ² +100，
故25（t+2） ² =224，（t+2） ² = ，
∵
∴
∴
②若QP=QF，即（5t-8） ² +100=（5t+10） ² +100，
即（5t-8） ² =（5t+10） ² ，
无0≤t≤ 的t满足方程，
③若PQ=PF，即（5t-8） ² +100=18 ²
∴（5t-8） ² =224，
由于 ，又 ，
∴ ，
故无 的t满足此方程，
综上所述： 时，△PQF为等腰三角形。