在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos（B-C）=1-cosA，且b，a，c成等比数列，求：（1）sinB•sinC的值；（2）A；（3）tanB+tanC的值．

Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos（B-C）=1-cosA，且b，a，c成等比数列，求：
（1）sinB•sinC的值；
（2）A；
（3）tanB+tanC的值．

Answer 1

（本题满分为14分）
（1）∵cos（B-C）=1-cosA=1+cos（B+C），
∴cosBcosC+sinBsinC=1+cosBcosC-sinBsinC，
∴sinBsinC=(1)/(2)．…2分
（2）∵b，a，c成等比数列，∴a²=bc，
由正弦定理，可得sin²A=sinBsinC，
从而sin²A=(1)/(2)，
因为A∈（0，π），所以sinA=(√(2))/(2)，
又因为a边不是最大边，所以A=(π)/(4)…8分
（3）因为B+C=π-A=(3π)/(4)，
所以cos（B+C）=cosBcosC-sinBsinC=-(√(2))/(2)，
从而cosBcosC=(1-√(2))/(2)，…10分
所以tanB+tanC=(sinB)/(cosB)+(sinC)/(cosC)=(sin(B+C))/(cosBcosC)=((√(2))/(2))/((1-√(2))/(2))=-2-√(2)…14分