设关于x的函数y=2cosx^2-2acosx-(2a+1)的最小值为f(a)试确定f(a)=1/2的值,并由此时的a求出y的最大值

Question

设关于x的函数y=2cosx^2-2acosx-(2a+1)的最小值为f(a)
试确定f(a)=1/2的值,并由此时的a求出y的最大值

Answer 1

(1)
y=2( (cosx)^2 -acosx+a^2/4)-(2a+1+a^2/2)
=2(cosx-a/2)^2-(2a+1+a^2/2)
那么进行讨论:
若-1≤a/2≤1,那么此时最小值就是cosx=a/2时,f(a)=-a^2/2-2a-1
若a/2≥1时,那么此时最小值就应该是cosx=1时,f(a)=2-2a-2a-1=1-4a
若a/2≤-1时,那么此时最小值是cosx=-1时,f(a)=2+2a-2a-1=1
所以综合起来看,就是一个分段函数:
a≤-2时,f(a)=1
-2≤a≤2时,f(a)=-a^2/2-2a-1
a≥2时,f(a)=1-4a
(2)
若f(a)=1/2时,就是有:
-a^2/2-2a-1=1/2或者1-4a=1/2
解1-4a=1/2这个方程得到:a=1/8不符合a≥2这个条件,所以舍去这个值
解-a^2/2-2a-1=1/2这个方程得到:a=-3或者a=-1
又此时a的范围是:-2≤a≤2
所以a=-1
那么此时
y=2(cosx)^2+2cosx+1=2(cosx+1/2)^2+1/2
那么根据图形关于cosx=-1/2对称的,
所以可以知道:当cosx=1时,函数值y达到最大
也就是此时y=2+2+1=5
就是a=-1,此时y的最大值是5