已知椭圆C：x24+y22=1的焦点分别为F1，F2．（Ⅰ）求以线段F1，F2为直径的圆的方程；（Ⅱ）过点P（4，0）任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N．在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM+∠PQN=180°？

Question

已知椭圆C：(x2)/(4)+(y2)/(2)=1的焦点分别为F₁，F₂．
（Ⅰ）求以线段F₁，F₂为直径的圆的方程；
（Ⅱ）过点P（4，0）任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N．在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM+∠PQN=180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（本小题满分13分）
（ I）因为a²=4，b²=2，所以c²=2．
所以以线段F₁F₂为直径的圆的方程为x²+y²=2．…（3分）
（ II）若存在点Q（m，0），使得∠PQM+∠PQN=180°，
则直线QM和QN的斜率存在，分别设为k₁，k₂．
等价于k₁+k₂=0．
依题意，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=k（x-4）．
由

y=k(x-4)

(x2)/(4)+(y2)/(2)=1

，得（2k²+1）x²-16k²x+32k²-4=0．
因为直线l与椭圆C有两个交点，所以△>0．
即（16k²）²-4（2k²+1）（32k²-4）>0，解得k2<(1)/(6)．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=(16k2)/(2k2+1)，x1x2=(32k2-4)/(2k2+1)，y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4）．

令k1+k2=(y1)/(x1-m)+(y2)/(x2-m)=0，（x₁-m）y₂+（x₂-m）y₁=0，（x₁-m）k（x₂-4）+（x₂-m）k（x₁-4）=0，
当k≠0时，2x₁x₂-（m+4）（x₁+x₂）+8m=0，
所以2×(32k2-4)/(2k2+1)-(m+4)×(16k2)/(2k2+1)+8m=0，
化简得，(8(m-1))/(2k2+1)=0，
所以m=1．
当k=0时，也成立．
所以存在点Q（1，0），使得∠PQM+∠PQN=180°．…（14分）