设椭圆四分之X平方加上三分之Y平方=1的左右焦点分别为F1.F2.直线L过椭圆的左焦点F1.且与椭圆交与AB两点点M（m,0）满足丨AM丨=丨BM丨1.当直线L垂直X轴时.求F2A·F2B的值（上面有个横不知道怎么

Question

设椭圆四分之X平方加上三分之Y平方=1的左右焦点分别为F1.F2.直线L过椭圆的左焦点F1.且与椭圆交与AB两点
点M（m,0）满足丨AM丨=丨BM丨
1.当直线L垂直X轴时.求F2A·F2B的值（上面有个横不知道怎么打）
2,当直线L斜率为K（K不等于0）时.若丨F1M丨-入丨AB丨=0 求实数入的值

Answer 1

x^2/4+y^2/3=1,则F1(-1,0)、F2(1,0).
1,或直线L垂直x轴,则L的方程为x=-1,可求得：A(-1,3/2)、B(-1,-3/2).
向量F2A=(-2,3/2)、向量F2B=(-2,-3/2).
向量F2A*向量F2B=4-9/4=7/4.
2,设直线L方程为y=kx+k,代入椭圆方程得：(3+4k^2)x^2+8k^2x+4k^2-12=0.
xA+xB=-8k^2/(3+4k^2)、xAxB=(4k^2-12)/(3+4k^2).
yA+yB=k(xA+xB)+2k=-8k^3/(3+4k^2)+2k(3+4k^2)/(3+4k^2)=6k/(3+4k^2).
丨AM丨=丨BM丨,则丨AM丨^2=丨BM丨^2.
丨AM丨^2=(m-xA)^2+yA^2=xA^2-2mxA+m^2+yA^2
丨BM丨^2=(m-xB)^2+yB^2=xB^2-2mxB+m^2+yB^2
xA^2-2mxA+m^2+yA^2=xB^2-2mxB+m^2+yB^2
-(xB-xA)(xA+xB)+2m(xB-xA)=(yB-yA)(yA+yB)
[8k^2/(3+4k^2)+2m](xB-xA)=(yB-yA)*6k/(3+4k^2)
8k^2/(3+4k^2)+2m=[(yB-yA)/(xB-xA)]*6k/(3+4k^2)
8k^2/(3+4k^2)+2m=6k^2/(3+4k^2)
m=-k^2/(3+4k^2)
丨F1M丨=√[(-k^2/(3+4k^2)+1]^2=1-k^2/(3+4k^2)=3(1+k^2)/(3+4k^2)
丨AB丨=√(1+k^2)*√[(xA+xB)^2-4xAxB]=12(1+k^2)/(3+4k^2)
入=丨F1M丨/丨AB丨=1/4.