如图1，平面四边形ABCD关于直线AC对称，∠A=60°，∠C=90°，CD=2．把△ABD沿BD折起（如图2），使二面角A﹣BD﹣C的余弦值等于．对于图2，完成以下各小题：（Ⅰ）求A，C两点间的距离；（Ⅱ

Question

如图1，平面四边形ABCD关于直线AC对称，∠A=60°，∠C=90°，CD=2．把△ABD沿BD折起（如图2），使二面角A﹣BD﹣C的余弦值等于 ．对于图2，完成以下各小题：
（Ⅰ）求A，C两点间的距离；
（Ⅱ）证明：AC⊥平面BCD；
（Ⅲ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）取BD的中点E，连接AE，CE，
由AB=AD，CB=CD，得：AE⊥BD，CE⊥BD
∴∠AEC就是二面角A﹣BD﹣C的平面角， ∴  
在△ACE中，  
AC ² =AE ² +CE ² ﹣2AE CE cos∠AEC =
  ∴AC=2
（Ⅱ）由  ，AC=BC=CD=2
∴AC ² +BC ² =AB ² ，AC ² +CD ² =AD ² ，
∴∠ACB=∠ACD=90°
∴AC⊥BC，AC⊥CD，
又BC∩CD=C∴AC⊥平面BCD．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知BD⊥平面ACE
BD 平面ABD ∴平面ACE⊥平面ABD
平面ACE∩平面ABD=AE，作CF⊥AE交AE于F，
则CF⊥平面ABD，∠CAF就是AC与平面ABD所成的角，
∴  ．