对于点集A={（x，y）|x=m，y=-3x+2，m∈N*}，B={（x，y）|x=n，y=a（x2-x+1），a∈Z，n∈N*}，是否存在非零整数a，使得A∩B=∅？

Question

对于点集A={（x，y）|x=m，y=-3x+2，m∈N^*}，B={（x，y）|x=n，y=a（x²-x+1），a∈Z，n∈N^*}，是否存在非零整数a，使得A∩B=∅？

Answer 1

当A∩B≠∅时，-3x+2=a（x²-x+1），
ax²+（3-a）x+a-2=0①有正整数解，
∴△=（3-a）²-4a（a-2）=-3a²+2a+9是平方数，
∴3a²-2a-9≤0，(1−2√(7))/(3)≤a≤(1+2√(7))/(3)，
a≠0，a∈Z，
∴a=±1，或a=2，
a=-1时△=4，这时①变为-x²+4x-3=0，解得x₁=1，x₂=3，
A∩B={（1，-1），（3，-7）}．
a=1时△=8，不是平方数．
a=2时△=1，这时①变为2x²+x=0，没有正整数解．
∴当A∩B=∅时，a≠-1，且a是非零整数．