已知函数f(x)=sin(π2-x)sinx-3cos2x+32（1）求f（x）的最大值及取得最大值时x值；（2）若方程f(x)=23在（0，π）上的解为x1，x2，求cos（x1-x2）的值．

Question

已知函数f(x)=sin((π)/(2)-x)sinx-√(3)cos2x+(√(3))/(2)
（1）求f（x）的最大值及取得最大值时x值；
（2）若方程f(x)=(2)/(3)在（0，π）上的解为x₁，x₂，求cos（x₁-x₂）的值．

Answer 1

（1）f（x）=sinxcosx-√(3)cos²x+(√(3))/(2)=(1)/(2)sin2x-√(3)•(1+cos2x)/(2)+(√(3))/(2)
=(1)/(2)sin2x-(√(3))/(2)cos2x=sin（2x-(π)/(3)），
∴当2x-(π)/(3)=(π)/(2)+2kπ即x=(5π)/(12)+kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值1．
（2）由（I）可知f（x）的图象关于直线x=(5π)/(12)对称，且f（(5π)/(12)）=1，
∴x₁+x₂=(5π)/(6)，即x₁=(5π)/(6)-x₂，
∴cos（x₁-x₂）=cos（(5π)/(6)-2x₂）=cos（(π)/(2)+(π)/(3)-2x₂）=sin（2x₂-(π)/(3)）=f（x₂）=(2)/(3)．