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如图,OA在x轴上,OB在y轴上,OA=8,AB=10,点C在边OA上,AC=2,P的圆心P在线段BC上,且P与边AB,AO都相切.若反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过圆心P,则k=.
题目详情
如图,OA在x轴上,OB在y轴上,OA=8,AB=10,点C在边OA上,AC=2, P的圆心P在线段BC上,且 P与边AB,AO都相切.若反比例函数y=
(k≠0)的图象经过圆心P,则k=___.

k |
x |

▼优质解答
答案和解析
作PD⊥OA于D,PE⊥AB于E,作CH⊥AB于H,如图,设 P的半径为r,
∵ P与边AB,AO都相切,
∴PD=PE=r,AD=AE,
在Rt△OAB中,∵OA=8,AB=10,
∴OB=
=6,
∵AC=2,
∴OC=6,
∴△OBC为等腰直角三角形,
∴△PCD为等腰直角三角形,
∴PD=CD=r,
∴AE=AD=2+r,
∵∠CAH=∠BAO,
∴△ACH∽△ABO,
∴
=
,即
=
,解得CH=
,
∴AH=
=
=
,
∴BH=10-
=
,
∵PE∥CH,
∴△BEP∽△BHC,
∴
=
,即
=
,解得r=1,
∴OD=OC-CD=6-1=5,
∴P(5,-1),
∴k=5×(-1)=-5.
故答案为-5.
∵ P与边AB,AO都相切,

∴PD=PE=r,AD=AE,
在Rt△OAB中,∵OA=8,AB=10,
∴OB=
102-82 |
∵AC=2,
∴OC=6,
∴△OBC为等腰直角三角形,
∴△PCD为等腰直角三角形,
∴PD=CD=r,
∴AE=AD=2+r,
∵∠CAH=∠BAO,
∴△ACH∽△ABO,
∴
CH |
OB |
AC |
AB |
CH |
6 |
2 |
10 |
6 |
5 |
∴AH=
AC2-CH2 |
22-(
|
8 |
5 |
∴BH=10-
8 |
5 |
42 |
5 |
∵PE∥CH,
∴△BEP∽△BHC,
∴
BE |
BH |
PE |
CH |
10-(2+r) | ||
|
r | ||
|
∴OD=OC-CD=6-1=5,
∴P(5,-1),
∴k=5×(-1)=-5.
故答案为-5.
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