如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2，P的圆心P在线段BC上，且P与边AB，AO都相切．若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过圆心P，则k=．

Question

如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2， P的圆心P在线段BC上，且 P与边AB，AO都相切．若反比例函数y= (k)/(x)（k≠0）的图象经过圆心P，则k=___．

Answer 1

作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设 P的半径为r，
∵ P与边AB，AO都相切，
∴PD=PE=r，AD=AE，
在Rt△OAB中，∵OA=8，AB=10，
∴OB=√(102-82)=6，
∵AC=2，
∴OC=6，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴△PCD为等腰直角三角形，
∴PD=CD=r，
∴AE=AD=2+r，
∵∠CAH=∠BAO，
∴△ACH∽△ABO，
∴(CH)/(OB)=(AC)/(AB)，即(CH)/(6)=(2)/(10)，解得CH=(6)/(5)，
∴AH=√(AC2-CH2)=√(22-((6)/(5))2)=(8)/(5)，
∴BH=10-(8)/(5)=(42)/(5)，
∵PE∥CH，
∴△BEP∽△BHC，
∴(BE)/(BH)=(PE)/(CH)，即(10-(2+r))/((42)/(5))=(r)/((6)/(5))，解得r=1，
∴OD=OC-CD=6-1=5，
∴P（5，-1），
∴k=5×（-1）=-5．
故答案为-5．