已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC．（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；（2）若点P在线段AB上．①如图2，连

Question

已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC．

（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；
（2）若点P在线段AB上．
①如图2，连接AC，当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；
②如图3，设AB=a，BP=b，当EP平分∠AEC时，求a：b及∠AEC的度数．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，
∴AB=BC，BP=BF，
∴AP=CF，
在△APE和△CFE中，

AP=CF

∠P=∠F

PE=EF

，
∴△APE≌△CFE，
∴EA=EC；
（2）①∵P为AB的中点，
∴PA=PB，又PB=PE，
∴PA=PE，
∴∠PAE=45°，又∠DAC=45°，
∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；
②∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，
∴AP=PG=a-b，BG=a-（2a-2b）=2b-a
∵PE∥CF，
∴(PE)/(BC)=(PG)/(GB)，即(b)/(a)=(a-b)/(2b-a)，
解得，a=√(2)b；
作GH⊥AC于H，
∵∠CAB=45°，
∴HG=(√(2))/(2)AG=(√(2))/(2)×（2√(2)b-2b）=（2-√(2)）b，又BG=2b-a=（2-√(2)）b，
∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC，
∴∠HCG=∠BCG，
∵PE∥CF，
∴∠PEG=∠BCG，
∴∠AEC=∠ACB=45°．
∴a：b=√(2)：1；∴∠AEC=45°．