在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：1AD2=1AB2+1AC2，那么在四面体A-BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．

Question

在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：(1)/(AD2)=(1)/(AB2)+(1)/(AC2)，那么在四面体A-BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．

Answer 1

如图（1）所示，由射影定理知AD²=BD•DC，AB²=BD•BC，AC²=BC•DC，
∴(1)/(AD2)=(1)/(BD•DC)
=(BC2)/(BD•BC•DC•BC)=(BC2)/(AB2•AC2)．
又BC²=AB²+AC²，
∴(1)/(AD2)=(AB2+AC2)/(AB2•AC2)=(1)/(AB2)+(1)/(AC2)．
所以(1)/(AD2)=(1)/(AB2)+(1)/(AC2)．
类比AB⊥AC，AD⊥BC猜想：
四面体A-BCD中，AB、AC、AD两两垂直，
AE⊥平面BCD，则(1)/(AE2)=(1)/(AB2)+(1)/(AC2)+(1)/(AD2)．
如图（2），连接BE交CD于F，
连接AF．∵AB⊥AC，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ACD．
而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF．
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴(1)/(AE2)=(1)/(AB2)+(1)/(AF2)．
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴

作业帮用户 2017-10-07