如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，过点D作⊙O的切线交AB于点E，交AC的延长线于点F．（1）求证：EF⊥AB；（2）求cos∠F的值．

Question

如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，过点D作⊙O的切线交AB于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：EF⊥AB；
（2）求cos∠F的值．

Answer 1

证明：（1）连接OD，…（1分）

∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
又∵AB=AC，
∴∠OCD=∠B，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，…（2分）
∵ED是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，
∴OD⊥EF，
∴AB⊥EF；…（3分）
（2）连接AD、CG，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ADC=∠AGC=90°，
∵AB⊥EF，
∴DE∥CG，
∴∠F=∠GCA，…（4分）
∵AB=AC，
∴DC=(1)/(2)BC=5，
Rt△ADC中，AD=√(AC2-CD2)=12，…（5分）
∵S_△ABC=(1)/(2)AD•BC=(1)/(2)AB•CG，
∴CG=(AD•BC)/(AB)=(120)/(13)，…（6分）
在Rt△CGA中，cos∠GCA=(GC)/(AC)=(120)/(169)，
∴cos∠F=(120)/(169)．…（7分）