请问(r^2+x^2)的负二分之三方怎么对x求积分?

Question

请问(r^2+x^2)的负二分之三方怎么对x求积分?

Answer 1

是求不定积分吗?如果是求定积分,也可以先求出原函数,再求在积分区间的增量,所以下面只说明如何求解不定积分.
在求解不定积分的时候,往往要根据被积函数的特点决定采用什么方法,这道题的分母是平方和的立方,然后开根号的情形,因为有根号,所以目标先把根号去掉,因为是平方和,所以可以利用三角函数的一个重要公式：1+(tant)²=(sect)²
于是,利用换元法,令x=rtant,则dx=r(sect)²dt
∫ 1/[(r²+x²)^(3/2)] dt
=(1/r²)*∫ 1/sect dt
=(1/r²)*∫ costdt
=(1/r²)*sint +C （C为任意常数）
=(1/r²)*x/[(x²+r²)^(1/2)]+C
最后一步因为tant=x/r,所以画个直角三角形,令其中的一个角为t,则对边是x,邻边为r,则斜边为(x²+r²)^(1/2),从而sint=x/[(x²+r²)^(1/2)].