如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且有AE=EF=FA．有下列结论：①△ABE≌△ADF；②CE=CF；③∠AEB=75°；④BE+DF=EF；⑤S△ABE+S△ADF=S△CEF．其中正确的个数有（）A．2个B．3个C．4个D

Question

如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且有AE=EF=FA．有下列结论：
①△ABE≌△ADF；②CE=CF；③∠AEB=75°；④BE+DF=EF；⑤S_△ABE+S_△ADF=S_△CEF．
其中正确的个数有（　　）

A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

Answer 1

∵AB=AD，AE=AF=EF，
∴△ABE≌△ADF（HL），△AEF为等边三角形，
∴BE=DF，又BC=CD，
∴CE=CF，
∴∠BAE=(1)/(2)（∠BAD-∠EAF）=(1)/(2)（90°-60°）=15°，
∴∠AEB=90°-∠BAE=75°，
∴①②③正确，
在AD上取一点G，连接FG，使AG=GF，
则∠DAF=∠GFA=15°，
∴∠DGF=2∠DAF=30°，
设DF=1，则AG=GF=2，DG=√(3)，
∴AD=CD=2+√(3)，CF=CE=CD-DF=1+√(3)，
∴EF=√(2)CF=√(2)+√(6)，而BE+DF=2，
∴④错误，
⑤∵S_△ABE+S_△ADF=2×(1)/(2)AD×DF=2+√(3)，
S_△CEF=(1)/(2)CE×CF=2+√(3)
∴⑤正确．
∴正确的结论有：①②③⑤．
故选C．