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设函数f(x)具有连续导数,且曲线积分∫(sinx-f(x))y/xdx+f(x)dy与路径无关,则f(x)=
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设函数f(x)具有连续导数,且曲线积分∫(sinx-f(x))y/xdx+f(x)dy与路径无关,则f(x)=
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答案和解析
∵令P=(sinx-f(x))y/x,Q=f(x)
∴∫(sinx-f(x))y/xdx+f(x)dy=∫Pdx+Qdy
∵∫Pdx+Qdy与路径无关
∴由格林定理,得αQ/αx=αP/αy
==>f‘(x)=(sinx-f(x))/x.(1)
∵方程(1)是一阶线性微分方程
∴由一阶线性微分方程得通解公式,得方程(1)的通解是
f(x)=(C-cosx)/x (C是常数)
故所求f(x)=(C-cosx)/x.
∴∫(sinx-f(x))y/xdx+f(x)dy=∫Pdx+Qdy
∵∫Pdx+Qdy与路径无关
∴由格林定理,得αQ/αx=αP/αy
==>f‘(x)=(sinx-f(x))/x.(1)
∵方程(1)是一阶线性微分方程
∴由一阶线性微分方程得通解公式,得方程(1)的通解是
f(x)=(C-cosx)/x (C是常数)
故所求f(x)=(C-cosx)/x.
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