已知函数f（x）=3x，且f（a+2）=18，g（x）=3ax-4x的定义域为区间[-2，2]．（1）求g（x）的解析式；（2）求g（x）的单调区间；（3）求g（x）的值域．

Question

已知函数f（x）=3^x，且f（a+2）=18，g（x）=3^ax-4^x的定义域为区间[-2，2]．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求g（x）的单调区间；
（3）求g（x）的值域．

Answer 1

（1）∵f（x）=3^x，f（a+2）=18，∴3^a+2=18，得3^a=2，
∴g（x）=2^x-4^x，x∈[-2，2]．
（2）∵g（x）=2^x-4^x =2^x-（2^x）²，x∈[-2，2]，
设t=2x，t∈[(1)/(4)，4]，则y=t-t2=-(t-(1)/(2))2+(1)/(4)，在[(1)/(2)，4]上单调递减，
在[(1)/(4)，(1)/(2))上单调递增，∵t=2^x为[-2，2]上的增函数，
∴g（x）在[-1，2]上为减函数，在[-2，-1）上为增函数．
（3）由（2）知g（x）在[-1，2]上为减函数，在[-2，-1）上为增函数，且g(2)=-12＜(3)/(16)=g(-2)，
∴g（x）_min=g（2）=-12，g(x)max=g(-1)=(1)/(4)，
∴-12≤g(x)≤(1)/(4)，
故g（x）的值域为[-12，(1)/(4)]．