在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a>0），l：ρcos（θ-π3）=32，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=π3，求|OA|+|OB|的最大值．

Question

在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a>0），l：ρcos（θ-(π)/(3)）=(3)/(2)，C与l有且仅有一个公共点．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=(π)/(3)，求|OA|+|OB|的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a>0），变形ρ²=2ρacosθ，化为x²+y²=2ax，即（x-a）²+y²=a²．
∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；
由l：ρcos（θ-(π)/(3)）=(3)/(2)，展开为(1)/(2)ρcosθ+(√(3))/(2)ρsinθ=(3)/(2)，
∴l的直角坐标方程为x+√(3)y-3=0．
由直线l与圆C相切可得(|a-3|)/(2)=a，解得a=1．
（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+(π)/(3)，
则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+(π)/(3)）
=3cosθ-√(3)sinθ=2√(3)cos（θ+(π)/(6)），
当θ=-(π)/(6)时，|OA|+|OB|取得最大值2√(3)．