如图，已知正方形MNQR内接于锐角△ABC中，设△ABC的面积为S，正方形MNQR的面积为S1，求证：S1≤12S．

Question

如图，已知正方形MNQR内接于锐角△ABC中，设△ABC的面积为S，正方形MNQR的面积为S₁，求证：S₁≤(1)/(2)S．

Answer 1

设△ABC的底边AB=a，底边上的高为h，正方形的边长为m，
∴S=(1)/(2)ah，
∵NQ∥AB，
∴△NCQ∽△ABC，
∴(m)/(a)=(h-m)/(h)，
∴m=(ah)/(a+h)，
∴S₁=（(ah)/(a+h)）²，
根据不等式的性质知：a+h≥2√(ah)，
∴S₁=（(ah)/(a+h)）²≤（(ah)/(2√(ah))）²=(1)/(4)ah=(1)/(2)S，
即S₁≤(1)/(2)S．